Metodología & Estudio 5 min de lectura20 de octubre de 2026
Movimientos en el Plano y Homotecias: guía práctica con ejemplos y comprobación
Aprende movimientos en el plano y homotecias en grado 7: conceptos, procedimiento, ejemplos resueltos y un criterio para comprobar lo aprendido.
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Movimientos en el Plano y Homotecias
Homotecia de centro O y razón k = 2: cada vértice imagen está sobre la semirrecta que sale de O y al doble de distancia (OA′ = 2 · OA); los lados de A′B′C′ miden el doble y los ángulos se conservan.
Qué vas a aprender y cómo empezar
Esta guía de grado 7 te ayuda a pasar de reconocer una regla a explicar cuándo funciona y comprobar el resultado. Distinguir traslaciones, rotaciones, reflexiones y homotecias con centro, eje, ángulo o razón declarados.
Las transformaciones geométricas modifican la posición, orientación o tamaño de las figuras sin alterar su forma. Son fundamentales en arte, diseño, arquitectura y animación.
Antes de hacer cuentas, identifica qué pide el enunciado y qué representan los datos. En un problema con medidas, conserva sus unidades; en una expresión algebraica, distingue las variables de los números conocidos. Si falta información, señala qué necesitas antes de intentar resolverlo.
Las ideas que sostienen el procedimiento
1. Traslación y Rotación: La traslación usa el vector (a,b). La regla de rotación indicada corresponde exclusivamente a 90° en sentido antihorario y centro en el origen; cambiar el centro o el sentido cambia la regla.
En una traslación, cada punto se mueve según el vector (a,b). En rotación, la figura gira alrededor del origen.
2. Reflexión y Homotecia: La reflexión indicada usa el eje X. La fórmula (kx,ky) corresponde solo a una homotecia con centro en el origen. Para un centro O=(h,j): P′=O+k(P−O). Un k negativo coloca cada imagen en la semirrecta opuesta desde O; no es una reflexión axial.
En homotecia, k es el factor de escala. La figura semejante se agranda o reduce.
Escala de longitudes y áreas: El caso k=0 colapsa la figura a un punto y se excluye de las homotecias no degeneradas de este tema. Una homotecia no cambia el tamaño si |k|=1.
L′=∣k∣L,A′=k2A
Con k=3 las longitudes se triplican y el área se multiplica por 9, no por 3.
Un método que puedes explicar
Pasos para transformar figuras:
1. Antes de calcular, declara vector; o centro, ángulo y sentido; o eje de reflexión; o centro y razón de homotecia. Comprueba que k≠0.
2. Paso 1: Identifica el tipo de transformación: traslación, rotación, reflexión u homotecia.
3. Paso 2: Aplica la fórmula correspondiente a cada vértice de la figura.
4. Paso 3: Grafica la figura original y la transformada para verificar el resultado.
5. Paso 4: Para homotecias, verifica que la razón de semejanza sea correcta.
Regla mnemotécnica de signos para reflexiones cartesianas: Si la reflexión es sobre el eje X, la coordenada que cambia de signo es y⟹(x,−y). Si la reflexión es sobre el eje Y, la coordenada que cambia de signo es x⟹(−x,y).
Ejemplo 1: Nivel Básico
Traslada el punto (3,4) con vector (2,-1). Halla las nuevas coordenadas.
1. Paso 1: Fórmula: (x+a,y+b)=(3+2,4−1).
2. Paso 2: (5,3).
3. Paso 3: El punto trasladado es (5,3).
Repite el desarrollo sin mirar los pasos. Después compara tu procedimiento con el ejemplo: si aparece una diferencia, localiza la primera operación o condición que cambió, en vez de corregir únicamente el resultado final.
Repite el desarrollo sin mirar los pasos. Después compara tu procedimiento con el ejemplo: si aparece una diferencia, localiza la primera operación o condición que cambió, en vez de corregir únicamente el resultado final.
Ejemplo 3: Nivel Avanzado
Aplica una homotecia de centro en el origen y razón k=3 al triángulo A(1,1), B(2,1), C(1,3). Halla los nuevos vértices y el cambio de área.
1. Paso 1: Fórmula: (x,y)→(3x,3y).
2. Paso 2: A′(3,3),B′(6,3),C′(3,9).
3. Paso 3: El triángulo homotético tiene vértices en (3,3), (6,3) y (3,9).
4. El área original es (1×2)/2=1 unidad cuadrada. El área de la imagen es (3×6)/2=9: se multiplica por k²=9.
Repite el desarrollo sin mirar los pasos. Después compara tu procedimiento con el ejemplo: si aparece una diferencia, localiza la primera operación o condición que cambió, en vez de corregir únicamente el resultado final.
Comprueba lo aprendido y continúa
Calcula una imagen por reflexión, una rotación y una homotecia; explica por qué las áreas cambian por k² y las longitudes por |k|.
Haz esta comprobación con tus propias palabras. Explicar una operación, una condición y la razón por la que aceptas el resultado permite distinguir comprensión de una respuesta memorizada. Si todavía necesitas los pasos del ejemplo, vuelve al procedimiento y ensaya de nuevo.
En Matkii puedes abrir «Movimientos en el Plano y Homotecias» para explorar su diagrama, practicar y revisar las actividades del tema. La ilustración muestra un ejemplo concreto; no debes trasladar sus valores a un ejercicio distinto.
Esta guía se prepara a partir de contenido con revisión editorial asistida y conserva las fuentes utilizadas. Esa revisión no equivale a aprobación docente independiente ni a un aval del Ministerio de Educación.