Metodología & Estudio 5 min de lectura22 de octubre de 2026
Polígonos Inscritos y Circunscritos: guía práctica con ejemplos y comprobación
Aprende polígonos inscritos y circunscritos en grado 8: conceptos, procedimiento, ejemplos resueltos y un criterio para comprobar lo aprendido.
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Polígonos Inscritos y Circunscritos
Hexágono regular inscrito en una circunferencia: el radio r va del centro a un vértice y la apotema ap, del centro al punto medio de un lado, perpendicular a él. En el hexágono, lado = r y ap = r · √3 / 2.
Qué vas a aprender y cómo empezar
Esta guía de grado 8 te ayuda a pasar de reconocer una regla a explicar cuándo funciona y comprobar el resultado. Distinguir inscripción y circunscripción y deducir área, lado y apotema de un polígono regular; separar la ampliación trigonométrica.
Inscrito: todos los vértices pertenecen a una circunferencia. Circunscrito: los lados son tangentes a una circunferencia interior. Todo polígono regular de n≥3 lados tiene ambas circunferencias concéntricas. No se afirma lo mismo de cualquier polígono irregular. Usa R para el radio hasta un vértice y a para la apotema, con 0<a<R. La parte trigonométrica es una ampliación guiada: si aún no conoces seno, coseno y tangente, consulta la lectura de apoyo y comienza con cuadrados y hexágonos.
Antes de hacer cuentas, identifica qué pide el enunciado y qué representan los datos. En un problema con medidas, conserva sus unidades; en una expresión algebraica, distingue las variables de los números conocidos. Si falta información, señala qué necesitas antes de intentar resolverlo.
Las ideas que sostienen el procedimiento
1. Relación Radio-Apotema: Para un polígono regular de n≥3 lados, unir el centro con dos vértices y el punto medio del lado forma un triángulo rectángulo de hipotenusa R y cateto adyacente a. La mitad del ángulo central es 180°/n; por eso cos(180°/n)=a/R.
a=R⋅cos(n180∘)
Para un hexágono (n=6): a = R · cos(30°) = R·√3/2.
2. Lado del Polígono Inscrito: En el mismo triángulo, el cateto opuesto es l/2. Así, sen(180°/n)=(l/2)/R. Para el polígono circunscrito a una circunferencia de radio a, usa l=2a·tan(180°/n), no l=2a·sen(180°/n).
l=2R⋅sin(n180∘)
Para un cuadrado (n=4): l = 2R · sin(45°) = R·√2.
3. Área por descomposición: Al unir el centro con los vértices se forman n triángulos de base l y altura a. Sumando sus áreas: A=n·(l·a/2)=P·a/2. El radio de una circunferencia exterior no sustituye a la apotema.
P=nl,A=2Pa
En un cuadrado inscrito, la diagonal mide 2R: por Pitágoras, l=R√2 y A=2R².
Un método que puedes explicar
Pasos para trabajar con polígonos inscritos y circunscritos:
1. Comprueba que el polígono sea regular e identifica n≥3.
2. Distingue el radio R hasta los vértices de la apotema a, radio de la circunferencia interior.
3. Para un inscrito usa l=2R·sen(180°/n); para uno circunscrito de apotema a, l=2a·tan(180°/n). Trabaja en grados.
4. Calcula P=n·l y A=P·a/2. Para cuadrados y hexágonos, justifica primero con Pitágoras o triángulos equiláteros.
5. Conserva valores exactos o todos los decimales y redondea solo el resultado final; expresa longitud y área con sus unidades.
Diagnóstico: en un cuadrado de lado 8 cm, el radio interior es 4 cm y el exterior es 4√2 cm. No son la misma circunferencia. El póster presenta un hexágono regular propio: no reproduce todos los datos de los ejercicios.
Ejemplo 1: Nivel Básico
Un hexágono regular está inscrito en un círculo de radio 10 cm. ¿Cuánto mide su lado?
4. Paso 4: El lado del hexágono mide 10 cm (igual al radio).
Repite el desarrollo sin mirar los pasos. Después compara tu procedimiento con el ejemplo: si aparece una diferencia, localiza la primera operación o condición que cambió, en vez de corregir únicamente el resultado final.
Ejemplo 2: Nivel Intermedio
Un cuadrado está inscrito en un círculo de radio 7 cm. Calcula su área.
1. El diámetro es la diagonal del cuadrado: d=2R=14cm.
2. Por Pitágoras, 2l2=142=196, de modo que l=72cm.
3. Área exacta: A=l2=98cm2. No es necesario redondear primero el lado.
Repite el desarrollo sin mirar los pasos. Después compara tu procedimiento con el ejemplo: si aparece una diferencia, localiza la primera operación o condición que cambió, en vez de corregir únicamente el resultado final.
Ejemplo 3: Nivel Avanzado
Un octágono regular está circunscrito a una circunferencia de radio 8 cm, que coincide con su apotema. Calcula el perímetro y redondea a centésimas.
1. Datos: n=8,a=8cm. La mitad del ángulo central es 22,5°.
2. La mitad del lado cumple tan(22,5∘)=8l/2, así que l=16tan(22,5∘).
3. Calculamos sin redondear el lado: P=8l=128tan(22,5∘)=128(2−1).
4. Resultado final: P≈53,02cm. Usar antes l≈6,63 produce un redondeo acumulado de 53,04.
Repite el desarrollo sin mirar los pasos. Después compara tu procedimiento con el ejemplo: si aparece una diferencia, localiza la primera operación o condición que cambió, en vez de corregir únicamente el resultado final.
Comprueba lo aprendido y continúa
Diferencia radios interior/exterior de un cuadrado; obtiene A=98 cm² para R=7 cm y P≈53,02 cm en el octágono de a=8 cm.
Haz esta comprobación con tus propias palabras. Explicar una operación, una condición y la razón por la que aceptas el resultado permite distinguir comprensión de una respuesta memorizada. Si todavía necesitas los pasos del ejemplo, vuelve al procedimiento y ensaya de nuevo.
En Matkii puedes abrir «Polígonos Inscritos y Circunscritos» para explorar su diagrama, practicar y revisar las actividades del tema. La ilustración muestra un ejemplo concreto; no debes trasladar sus valores a un ejercicio distinto.
Esta guía se prepara a partir de contenido con revisión editorial asistida y conserva las fuentes utilizadas. Esa revisión no equivale a aprobación docente independiente ni a un aval del Ministerio de Educación.